数学方法分析中国抗疫模式的有效性

旅顺广播电视网综合 刘 欣2020-03-26 16:18:23
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  目前,全球新冠肺炎疫情发展迅速,海外累计确诊病例超过30万人,但中国新冠肺炎疫情防控形势持续向好,国内连续多日无新增病例,生产生活秩序加快恢复的态势不断巩固和拓展。国家卫健委发布的数据显示,截至3月23日,疫情重灾区湖北省也连续6天新增确诊病例为零。国际社会认为这显示了中国抗疫行动果断高效,给其他国家战胜疫情带来信心和希望。那么,中国的新冠疫情防控策略为什么科学有效?有没有数学模型认知中国的新冠疫情防控策略?本期邀请数学教授、北京邮电大学校长乔建永详细解读——  

  当前,中国本土连续多日无新增病例,疫情重灾区湖北省新增确诊病例也为零,我国疫情防控取得了扭转战局的重大进展。伴随着春天的脚步,中国战胜新冠病毒肺炎疫情的形式持续向好。最近,国内外互联网上不断有人发问:中国的抗疫模式是否可以在其他国家复制?笔者从传染病的数学模型入手,通过分析我国抗疫策略的内在数学逻辑,阐述中国抗疫模式的科学性。历史上,正是依靠数学对于传染病的模型化研究,人类才对其传播模式和严重危害有了更为深刻的理性认识。

  1.从数学模型认识封闭管理与疫苗的重要性

  数学模型,是用数学公式,运算程序,结构图形等对实际问题本质的抽象和刻画,是对真实世界的一种模拟。它能够解释客观世界的很多现象,预测事物的发展演化规律,为控制某一现象的发生和发展提供一定意义下的优化策略。数学模型其实并不是现实问题的直接拷贝,它的建立既需要我们对现实问题深入的观察、推理和分析,又需要我们灵活巧妙地利用各种既有的经验和科学知识。这种应用知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型的过程被称为数学建模。

  现代科学的发展表明,不论是用数学方法在科技、生活和生产领域解决哪类实际问题,还是它同其他学科相结合形成交叉学科,最为关键的一步是要建立研究对象的数学模型,并加以计算求解。信息和计算技术的快速发展为这一求解带来了划时代的新机遇。新冠病毒肺炎疫情发生以来,我们经常会听到某某根据他们的模型预测了疫情终结的大概时间。这里所说的模型就是针对当前的疫情而修正、提炼、选择的数学模型。

  这个听起来高深莫测的数学模型,原理其实并不复杂。比如,在一个固定的社区里,假设每个人接触病人时被传染的概率为P,并假设每个病人平均每天接触到N个人。在这个假设下,不难发现,得病的人数会随时间以指数函数形式增长。如果N与P的乘积小于1(即NP<1),传染病会逐渐减少,如果np>1则会爆炸式增长。这样看来,控制疫情的途径无疑是要把N和P的数值降下来。现在,我们闭门锁户,封城,限制流动和聚会,就是为了降低N的数值;紧急研发疫苗、戴口罩、洗手消毒,常锻炼、注意营养均衡、提高免疫力,则是为了把P的数值降下来。这就是最简单的传染病数学建模。

  用数学模型研究传染病的历史,最早可以追溯到十八世纪初。当时天花病毒肆虐欧洲,人们发现东方传入的人痘接种术似乎能够治愈这种传染病,但接种后仍有很高的死亡率,这引起了数学家伯努利的注意,他开始思考用数学方法去描述天花的传播以及接种的效果。伯努利将人群分成感染者与未感染者,感染者既有可能治愈变成未感染者,也会因病死亡,以此建立了数学方程。伯努利的想法虽然很直观,但经过计算,他竟然得出了人痘接种在统计意义上仍然能让人的寿命延长 3 年左右的结论。今天看来,伯努利的研究很显然是初步的,但这种科学思维在那个人类命运完全被传染病支配的时代显得尤为珍贵,直到今天仍然是用数学方法研究传染病的基本思想。

  进入二十世纪,用数学模型研究传染病的方法获得了飞速发展,这很大程度上要归功于SIR模型。这个模型用S代表易感者,也就是可能被传染但还没有感染的人;用I代表感染者,即已经被传染但尚未死亡的人;用R代表移除者,他们被感染后痊愈或者因病死亡。SIR模型还有一个样本人数不变的假设,即易感者、感染者和移除者的人数之和保持不变。有了这样一个数学模型,我们需要研究三个群体随时间的变化趋势,第一天有了N个感染者,到了第T天会有多少人感染?因痊愈或死亡产生的移除者又会有多少?为了求出不同人群与时间的关系式,数学家引入了一组微分方程。它虽然看起来很复杂,但我们面临的任务却彻底梳理清楚了,就是要解出这个方程里的S、I、R与时间t的关系函数。今天我们用计算机把这些关系函数画出来,就是通常我们在媒体上看到的疫情预测曲线。

  SIR模型非常简洁,计算出来的传染趋势也在历史上得到过有效印证。然而SIR模型的缺陷也是非常明显的,比如,本次新冠病毒肺炎存在14天的潜伏期,感染者可能在14天内完全没有任何异常症状,因此简单的三类人群划分在这里显然是不够的。考虑这一因素,可以把SIR模型进一步发展为SEIR模型,能够更精确地刻画新冠病毒肺炎疫情的传播趋势。这需要在SIR模型中加入潜伏期人群,用E表示,它是SIR模型的推广。如果用β,δ,γ,α依次表示S转化为E,E转化为I,I转化为R,E转化为R的比率,则其微分方程如下:(图1)

  对于公众而言,上述微分方程自然是生涩而又枯燥的。事实上,数学界以外的许多专家在用这些方程的时候,对其来龙去脉也未必十分清楚,尽管他们在计算机上用相关软件模拟和预测疫情走向时多半是在求解这些方程。抛开疫情中的一线数据采集,也不必观察计算机模拟的疫情演化曲线,事实上仅从以上四个方程来分析,我们至少可以得出以下三个结论:一是,疫情最终会过去,但结局如何要看防控效果。因为系统稳定点是0,所以疫情终将过去。但要注意,参数β,δ,γ,α的取值不同,疫情的终结曲线跌宕起伏千差万别,它决定了结局的温和或惨烈程度。我们的疫情防控就是要调控这些参数的大小。二是,传染率β越高,疫情终结的就越快,结局也就越惨烈。三是降低传染率β,这样才能减少人类的伤亡数量。做好个人防护、增强免疫力,这是直接调控参数β,对参数δ,γ,α产生影响。

  注意,上述讨论始终有一个前提:易感者、感染者和移除者的人数之和保持不变。这就是疫情期间封闭管理的重要性。事实上,我们这里还假设了康复者要自带免疫抗体,否则,传染可能会进入循环往复的可怕状态,这就是大家担心疫情明年再来,盼望新冠疫苗早日问世的数学逻辑。就数学建模而言,针对不满足以上两个前提假设的情况,我们还可以建立更为复杂的数学模型,这里不再赘述。